限定性不定方程和非限定不定方程，不定方程怎么解详细过程

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不定方程怎么解，不定方程这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、例1 求11x+15y=7的整数解．解法1 将方程变形得11x=7-15y因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解。

2、所以方程的解为x0=2,y0=-1解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得11×（-4)+15×⑶=1，所以11×（-4×7)+15×（3×7)=7。

3、可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下。

4、通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同。

5、但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．解 因为（6，22)=2。

6、所以方程两边同除以2得3x+11y=45． ①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解。

7、从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数。

8、由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15。

9、t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时。

10、x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难。

11、碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解 用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x。

12、y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得2u+5v=3． ④由观察知u=-1。

13、v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2。

14、所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0。

15、1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4 求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33。

16、37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代。

17、得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×（37-33)=9×33-8×37=9×（107-2×37)8×37=9×107-26×37=37×（-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×（-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5 某国硬币有5分和7分两种。

18、问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分。

19、于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5|2(x-1）．因为（5。

20、2)=1，所以5|x-1，从而x=1。

21、6，11，16。

22、①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时。

23、这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解 设9x+24y=3t。

24、即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前。

25、中国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱。

26、母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x。

27、y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300． ③③-②得 14x+8y=200。

28、即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0

29、z<100，所以由于t是整数，故t只能取26。

30、27，28，而且x。

31、y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡。

32、78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡。

33、4只母鸡，84只小鸡．。

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